La probabilité de rouler un Yahtzee

La probabilité de rouler un Yahtzee

Yahtzee est un jeu de dés associant hasard et stratégie. Un joueur commence son tour en lançant cinq dés. Après ce lancer, le joueur peut décider de relancer un nombre quelconque de dés. Au maximum, il y a un total de trois rouleaux pour chaque tour. Après ces trois lancers, le résultat du dé est inscrit sur une feuille de résultats. Cette feuille de pointage contient différentes catégories, telles qu'un full house ou une grande ligne droite. Chacune des catégories est satisfaite avec différentes combinaisons de dés.

La catégorie la plus difficile à combler est celle d'un Yahtzee. Un Yahtzee se produit lorsqu'un joueur lance cinq fois le même nombre. À quel point un Yahtzee est-il improbable? C'est un problème beaucoup plus compliqué que de trouver des probabilités pour deux voire trois dés. La raison principale est qu’il existe de nombreuses façons d’obtenir cinq dés correspondants lors de trois lancers.

Nous pouvons calculer la probabilité de lancer un Yahtzee en utilisant la formule de combinatoire pour les combinaisons et en divisant le problème en plusieurs cas mutuellement exclusifs.

Un rouleau

Le cas le plus facile à envisager consiste à obtenir un Yahtzee immédiatement au premier lancer. Nous allons d’abord examiner la probabilité d’atteindre un Yahtzee particulier de cinq ans, puis l’étendre facilement à la probabilité d’un Yahtzee.

La probabilité de lancer un deux est de 1/6 et le résultat de chaque dé est indépendant du reste. Ainsi, la probabilité de faire rouler deux fois deux est égale à (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. La probabilité de lancer cinq fois un nombre quelconque est également 1/7776. Puisqu'il y a un total de six nombres différents sur un dé, nous multiplions la probabilité ci-dessus par 6.

Cela signifie que la probabilité d'un Yahtzee sur le premier rouleau est de 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 pour cent.

Deux rouleaux

Si nous lançons autre chose que cinq sortes du premier, nous devrons relancer certains de nos dés pour tenter d'obtenir un Yahtzee. Supposons que notre premier rouleau en a quatre. nous relançons le dé qui ne correspond pas et obtenons ensuite un Yahtzee pour ce deuxième lancer.

La probabilité de lancer un total de cinq deux fois de cette manière se présente comme suit:

  1. Sur le premier rouleau, nous avons quatre deux. Puisqu'il y a une probabilité de 1/6 de rouler un deux et de 5/6 de ne pas rouler un deux, on multiplie (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
  2. N'importe lequel des cinq dés lancés pourrait être le non-deux. Nous utilisons notre formule de combinaison pour C (5, 1) = 5 pour compter le nombre de façons dont nous pouvons obtenir quatre deux et quelque chose qui n'est pas un deux.
  3. On multiplie et on voit que la probabilité de rouler exactement quatre deux sur le premier lancer est 25/7776.
  4. Sur le second rôle, nous devons calculer la probabilité de lancer un deux. C'est 1/6. Ainsi, la probabilité d'obtenir un Yahtzee de deux de la manière ci-dessus est égale à (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Pour trouver la probabilité de lancer un Yahtzee de cette manière, il suffit de multiplier la probabilité ci-dessus par 6, car il existe six nombres différents sur un dé. Cela donne une probabilité de 6 x 25/46656 = 0,32 pour cent.

Mais ce n'est pas la seule façon de faire un Yahtzee avec deux rouleaux. Toutes les probabilités suivantes se retrouvent plus ou moins comme ci-dessus:

  • Nous pourrions lancer un brelan, puis deux dés qui correspondent sur notre deuxième lancer. La probabilité que cela soit est de 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 pour cent.
  • Nous pourrions lancer une paire correspondante, et sur notre deuxième lancer trois dés qui correspondent. La probabilité que cela soit de 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 pour cent.
  • Nous pourrions lancer cinq dés différents, économiser un dé de notre premier lancer, puis lancer quatre dés qui correspondent au deuxième lancer. La probabilité que cela soit est (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 pour cent.

Les cas ci-dessus sont mutuellement exclusifs. Cela signifie que pour calculer la probabilité de lancer un Yahtzee en deux fois, nous additionnons les probabilités ci-dessus et nous avons environ 1,23%.

Trois rouleaux

Pour la situation la plus compliquée à ce jour, nous allons maintenant examiner le cas où nous utilisons nos trois listes pour obtenir un Yahtzee. Nous pouvons le faire de plusieurs manières et devons en tenir compte.

Les probabilités de ces possibilités sont calculées ci-dessous:

  • La probabilité de lancer un carré, puis rien, puis de faire correspondre le dernier dé au dernier lancer est de 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0,27 pour cent.
  • La probabilité de lancer un brelan, puis rien, puis la correspondance avec la paire correcte sur le dernier rouleau est égale à 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = 0,37 pour cent.
  • La probabilité de faire rouler une paire correspondante, puis rien, puis une correspondance avec le bon brelan du troisième rouleau est de 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216 ) = 0,21 pour cent.
  • La probabilité de lancer un seul dé, puis rien qui corresponde à cela, puis qui correspond aux quatre types du troisième lancer est de (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0,003%.
  • La probabilité de lancer un brelan, assortissant un dé supplémentaire au prochain lancer, suivie de l'appariement du cinquième dé du troisième lancer est de 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0,89 pour cent.
  • La probabilité de lancer une paire, correspondant à une paire supplémentaire au prochain lancer, suivie de l’adéquation du cinquième dé du troisième lancer, est de 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 2) x ( 5/216) x (1/6) = 0,89 pour cent.
  • La probabilité de lancer une paire, correspondant à un dé supplémentaire au prochain lancer, puis aux deux derniers dés du troisième lancer est de 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 1) x (25/216) x (1/36) = 0,74%.
  • La probabilité de lancer l’un des types, un autre dé pour le faire correspondre au deuxième lancer, puis un brelan au troisième lancer est de (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296) x (1/216) = 0,01%.
  • La probabilité de lancer un brelan, un brelan à assortir au deuxième lancer, suivi d'un match au troisième, est de (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0,02 pour cent.
  • La probabilité de lancer un des types, une paire à faire correspondre au deuxième rouleau, puis une autre paire à faire correspondre au troisième rouleau est de (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0,03%.

Nous additionnons toutes les probabilités ci-dessus pour déterminer la probabilité de lancer un Yahtzee dans trois lancers de dés. Cette probabilité est de 3,43 pour cent.

Probabilité totale

La probabilité d'un Yahtzee dans un rouleau est de 0,08%, la probabilité d'un Yahtzee dans deux rouleaux est de 1,23% et la probabilité d'un Yahtzee dans trois rouleaux est de 3,43%. Puisque chacune d’elles s’excluent mutuellement, nous additionnons les probabilités. Cela signifie que la probabilité d'obtenir un Yahtzee à un tour donné est d'environ 4,74%. Pour mettre cela en perspective, puisque 1/21 est d’environ 4,74%, un joueur devrait s’attendre à un Yahtzee tous les 21 tours. En pratique, cela peut prendre plus de temps, car une paire initiale peut être jetée pour obtenir un autre résultat, comme une suite.